Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут на среднем расстоянии 438 тыс. км. Для Луны эти величины равны соответственно 27,3 сут и 384 тыс. км

Решение

Чтобы определить массу планеты Уран (в массах Земли), можно воспользоваться третьим законом Кеплера:

T² / R³ = k

где T - период обращения спутника, R - среднее расстояние между спутником и планетой, а k - константа, зависящая от массы планеты.

Сначала найдем отношение T² / R³ для Луны:

T₁ = 27,3 сут (период обращения Луны вокруг Земли)
R₁ = 384 тыс. км (среднее расстояние между Луной и Землей)

Отношение для Луны:

(T₁²) / (R₁³) = (27,3²) / (384³) ≈ 2.96 * 10^(-11)

Теперь найдем отношение T² / R³ для Титании:

T₂ = 8,7 сут (период обращения Титании вокруг Урана)
R₂ = 438 тыс. км (среднее расстояние между Титанией и Ураном)

Отношение для Титании:

(T₂²) / (R₂³) = (8,7²) / (438³) ≈ 9.64 * 10^(-12)

Теперь воспользуемся тем, что константа k пропорциональна массе планеты:

k₁ / k₂ = M₁ / M₂

где k₁, k₂ - константы для Земли и Урана, M₁, M₂ - массы Земли и Урана.

Используя найденные отношения для Луны и Титании, можно записать:

(2.96 * 10^(-11)) / (9.64 * 10^(-12)) = M₁ / M₂

Теперь определим массу Урана относительно массы Земли:

M₂ = M₁ * (9.64 * 10^(-12)) / (2.96 * 10^(-11)) ≈ 14.8

Таким образом, масса планеты Уран составляет примерно 14,8 масс Земли.

Нужно решить другие задачи?

Made on
Tilda